martes, 22 de mayo de 2012

Área y Perímetro de un Triángulo.


De este trazado, surgió todo lo que conocen como Trigonometría, también llamado "Oh dios, mata a quien inventó la maldición del seno, coseno, tangente, y sus malditas cofunciones y al demonio con todo".



Como todos saben, el triángulo es una figura geométrica que consta de 3 lados, que se unen dos a dos.
Existen varios tipos de triángulos; pueden clasificarse acorde el tipo de ángulo que tienen, o la relación entre sus lados.
Clasifiquémoslos acorde la relación entre sus lados:

-Triángulo Equilátero: Posee 3 de sus lados iguales, osea todos.

-Triángulo Isóceles: Posee 2 de sus lados iguales, y uno desigual

-Triángulo escaleno: Posee los 3 lados desiguales.


-El Área de un triáńgulo es exactamente igual a la mitad de la de un rectángulo que tenga su misma base y altura. Osea, A = (B.H)/2, y se aplica para todos los triángulos.

-También puede aplicarse siempre la Fórmula de Herón, que la desarrollaremos en otro post.


Perímetro y Área de los 3 tipos de triángulos:

-Triángulo equilátero: L+L+L, pero como sus tres lados son iguales, El perímetro = 3L

-Triángulo isóceles: L+L+L, pero como dos de sus lados son iguales, puede ser también 2L+L. Con respecto al área, podemos observar que la altura corresponde a su mediana y bisectriz.

-Triángulo escaleno: El perímetro es la suma de todos los lados, osea simplemente L+L+L



En este ejemplo, consideramos AB=AC y HC= la mitad de BC. Entonces, el perímetro será:
AB+AC+BC= 10+10+5 = 2(10)+5= 25.

La altura (h) la podremos hallar por el teorema de pitágoras, que será la raiz de la resta entre 10^2 y 5^2, lo cual da 8.66.

-También podemos saber que BC= base= 2HC = 2(5) = 10.
Entonces, el área será igual a (B.H)/2 = (10*8.66)/2 = 43.3

P.D: si no se dieron cuenta, era un triángulo equilátero.

jueves, 17 de mayo de 2012

Área y Perímetro del rectángulo

El rectángulo es una figura de 4 lados que tiene 4 ángulos rectos. Es una de las figuras más usadas en geometría, y por ello aquí van las fórmulas.


Propiedades.
 -Posee 4 ángulos rectángulos.
 - Sus lados opuestos son iguales.
-Al lado más largo, es llamado "largo o base", mientras que al corto suele llamarse "ancho o altura".

 





Perímetro: El perímetro, al ser la suma de sus lados, se puede expresar de las siguientes formas.
P=l+l+a+a
P=2l+2a
P= (l+a)2

Área: El área del rectángulo es igual a la multiplicación de dos lados adyacentes, osea la base (o largo) y la altura (ancho).

Área = b.h
Área = l.a

Diagonal: La diagonal de un rectángulo se halla aplicando el Teorema de Pitágoras, donde ambos catetos son el largo y ancho del rectángulo.


Resumiendo;




martes, 15 de mayo de 2012

Álgebra [6]

Se inventa una regla para construir la siguiente lista de números:2, 4, 7, 11, ..., 22, ..., 37, 46. En la lista faltan 2 números. ¿Cuál es la suma de los números que faltan?
 a)40
b)42
c)45
d)48
e)50
f) ninguna de las anteriores.
Planteo.

Como es una secuencia, lo único necesario es encontrar la regla que rige la creación de los números de la secuencia. Así, vemos que entre 2 y 4, hay 2 números. Entre 4 y 7, 3... Y así sucesivamente. Entonces, entre cada par de números, hay cada vez +1 de diferencia con respecto al anterior. Generalizando:
n= número de la secuencia
n, n+2 , (n+2)+3 , etc.
Entre 11 y el número sgte tendrían que haber 5 números de diferencia. Entonces, el número es 16.
Entre 22 y el sgte, tendrían que haber 7 números de diferencia. Entonces, el número es 29.

16+29= 45.
c)45

domingo, 13 de mayo de 2012

Álgebra [5]

Los números a,b,c,d y e son positivos, tales que ab=2, bc=3, cd=4, de=5. Cuál es el valor de e/a?

Planteo.
Un problema relativamente sencillo, en donde se deben cuidar las relaciones que coexisten. No hay grandes secretos, simplemente seguir una metodología correcta.
-Buscamos reducir términos y encontrar la relación entre a y e.




viernes, 11 de mayo de 2012

Geometría [2]

Sobre el arco de la circunferencia de diámetro AD=3, se trazan dos segmentos AB y BC, donde AB=BC=1. Calcular la medida del segmento CD.
Al ser un problema geométrico de grado superior, conviene hacer el gráfico básico y, acorde a lo que vemos, seguir trazando lo necesario hasta llegar a conseguir el objetivo (en este caso, el segmento CD)

Trazamos AC, donde se forma el triángulo rectángulo ACD que es recto en C.

 Trazamos OA y OC, ambos radios del círculo.
Vemos que: ABO = BCO = isóceles (ya que AO=BO=CO y AB=BC)
Podemos hallar la h de un triángulo isóceles, con la fórmula pitagórica.

Entonces, podemos igualar áreas de los triángulos que se formaron, buscando siempre despejar AC, y luego CD.





jueves, 10 de mayo de 2012

Álgebra [4]

"Juanita tiene una bolsa con bombones. Ella reparte entre 7 compañeritos los bombones y le sobran 3. ¿Cuál es la cantidad de bombones que pueden haber en la bolsa?
a)43
b)59
c)62
d)65
e)67
d) ninguna de las anteriores.


Planteo.
Básicamente, dice que se reparten entre 7 compañeros (se divide entre 7) X cantidad de bombones, y sobran 3. 


Osea, la cantidad de bombones tiene que ser un número múltiplo de 7 más 3 (osea, más el residuo).

B = 7x+3

Una forma rápida de hacerla, es mirando las opciones y reemplazando "B", para buscar un valor en donde X sea exacto.

(B-3)/7 = X

Utilizando B=59 ==> X=(59-3)7 = 8

Osea, 59 puede ser un valor de los bombones.

b)59

Otros valores que podría asumir y no se encuentran entre las opciones:

Sólo hay que reemplazar en "B=7x+3" la x, empezando desde el valor más pequeño (desde 1)

B= 7+3 = 10
B= 7.2+3= 17
B= 7.3+3 = 24

Y así, sucesivamente.


martes, 8 de mayo de 2012

Álgebra [3]

"Los dígitos del 1 al 99 se escriben en una columna. ¿Cuántos dígitos 5 se escriben?"
a)20
b)25
c)32
d)10
c)45
Planteo 
En problemas de este tipo, en donde hay que ordenar los datos lo mejor posible, conviene hacer un buen planteo para poder tener en orden todos los datos, y así sea también (en caso de ser necesario) mucho más sencillo para los jueces poder corregir nuestro problema.

Nuestra estrategia será la siguiente: Sabemos que del 1 al 99 hay 99 números. Son muchos para escribirlos, así que intentaremos acortar la lista todo lo posible. Para ello, haremos gala de conocimientos muy básicos y toda la creatividad posible (la creatividad es lo fundamental a la hora de resolver problemas matemáticos).
Sabemos que hay, cada 10 números, uno que termina en 5 (05, 15, 25, etc).
Y sabemos que hay 10 números consecutivos que comienzan en 5 (del 50 al 59)
Sabemos que todos estos números que citamos llevan un solo dígito 5, con excepción del 55.

Por lo tanto:

05,15, 25, 35, 45, 55, 65, 75, 85, 95. = 1+1+1+1+2+1+1+1 = 11  ==> el 2 es por 55.
y
50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59. = 1+1+1+1+1+1+1+1+1= 9

Cuidado con el 55, que se repite.

Total = 20.

a)20

domingo, 6 de mayo de 2012

Álgebra [2]

Un ascensor sube desde la planta baja hasta el segundo piso en 7 segundos. ¿Cuánto tiempo, en segundos, tardará en subir el ascensor desde la planta baja hasta el octavo piso?

Planteo.

El problema es muy visualizable, y por esto resulta bastante fácil conceder con su resultado. Se puede resolver por simple regla de 3, como también por muchos otros métodos.

2 pisos -- 7 segundos
8 pisos -- x segundos

x= (8.7)/2 = 28

O, de otra forma

2 pisos = 7 segundos
8 pisos = 2(4) pisos

Entonces, sólo es cuestión de utilizar la primera igualdad.

2 pisos = 7 segundos
2(4) pisos = 7(4) segundos
8 pisos = 28 segundos.

Como ven, se pueden seguir varios planteos, varias estrategias y varias tácticas para poder llegar al objetivo. En estos casos, ya depende de cada quien qué proceso seguir.


sábado, 5 de mayo de 2012

Geometría [1]

"Se transforma un rectángulo de base 50 cm y altura 10 cm en un cuadrado con igual perímetro. En cuántos centímetros cuadrados se incrementó el área del polígono?"
a) En menos de 200
b) 200
c) 400
d) En más de 400
e) Ambos polígonos tienen la misma área.


Planteo.

Primeramente, vemos la estrategia. Tenemos igualdad entre el perímetro de dos figuras conocidas, y como conocemos el perímetro de una, ya podremos conocer el de la otra, e incluso sus lados, para luego poder hallar ambas áreas.

Pm del rectángulo = 2(50+10) = 120
Pm del cuadrado = 4L = 120
Lado del cuadrado = 30

Entonces, ahora podremos calcular el incremento del área, restando ambas.

Incremento de Área =  Área final - Área inicial = Área del cuadrado - Área del rectángulo
Incremento = 30.30 - 50.10 = 900-500 = 400

Incremento = 400

c) 400

Álgebra [1]

"3 x 2006 = 2005+2007+X. ¿Cuál es el valor de X?"
a)2005
b)2006
c)2007
d)2008
e)2009

Planteo


Un problema muy sencillo, para comenzar en álgebra. 

Como verán, tenemos 3(2006) = 2005+2007+X.  Como sabrán los que ya saben hacer ecuaciones de primer grado, una forma muy sencilla de solucionar el problema es despejar simplemente, de tal forma que quede así:



3(2006) -2005-2007 = X

Sin embargo, como se podrán fijar, (1) 2005 = 2006-1 y (2) 2007 = 2006+1, osea:

Reemplazando (1) y (2): 
2005+2006 = 2006-1+2006+1 = 2006+2006 = 2(2006)

Entonces, 3(2006) = 2(2006)+X
3(2006)-2(2006) = X
2006 = X

Como hicimos arriba.

b)2006

Parecerá que la segunda forma es más complicada, pero en realidad, cuando trabajamos sin calculadoras (como en muchas pruebas y prácticamente el total de olimpiadas matemáticas) resulta muy útil ver el ejercicio de esa manera.